其中一個為人熟識的不合乎常理的結果是「巴拿赫─塔斯基誖論」（Banach-Tarski Paradox），或稱「分球問題」。這個誖論可以說是違反了物理學定律，因為這個誖論說可以把一個單位球體（半徑為1）分成有限份，最少可分成五份，然後透過一些剛體運動，即旋轉和平移，再重新組合，不過在組合後，竟然成為兩個單位球體，也即是體積增加了一倍，而這個誖論的證明是必須利用到「選擇公理」的。也就是說，如果我們選擇接納「選擇公理」，則「巴拿赫─塔斯基誖論」便是一條定理，但現實中有這個可能嗎？

　　這其實也是牽涉另一個數學概念──可測集合（Measurable Set）。「巴拿赫─塔斯基誖論」便是存在不可測集合的結果。如果我們接納「選擇公理」，則我們必須接納不可測集合。若我們不接納「選擇公理」，則可設所有集合皆是「勒貝格可測的」（Lebesgue Measurable），而這個假設也可能是較合乎常理。

　　總括而言，「選擇公理」是一條十分爭議性的命題，一般的數學家都接受這條公理，因為可以從而得出很多有用的結果，反正使用這公理是沒有邏輯矛盾的。但對於邏輯家或集合論家來說，這是一個必須解決的問題，有些人會建議用較弱的「可數選擇公理」（Countable Choice）來代替，而確實有很多結果是可以利用可數選擇公理來證明的，不過這樣只是暫時回避問題，而且依然有些結果是必須用到「選擇公理」的。

　　著名哲學家兼數學家羅素（Bertrand Russell）曾說過：「由無限對襪子中，每對選擇一隻出來的話，我們需要『選擇公理』，但如果換轉是鞋的話，那便不必了。」因為鞋是可以分左右的，襪子則兩隻沒甚麼分別，不知如何選擇。另外，如果只得有限對襪子，在邏輯上是可以不用「選擇公理」的。

　　邦拿（Jerry Bona）也曾說過：「『選擇公理』明顯是正確的；『良序原理』明顯是不正確的；『佐思引理』又有誰可決定呢？」這個雖然是一個笑話，但從此可知道人的直覺並不一定跟從數學的思維。在數學上，這三個命題是等價的，但對於「選擇公理」，很多數學家也直覺它是正確的；對於「良序原理」，很多數學家也認為存在問題；對於「佐思引理」則複雜得很多數學家也不能單憑直覺作判斷。

　　「選擇公理」確是一條謎樣的公理，雖然看似十分顯淺，但卻有奇妙的功能，甚至有超乎常理的結果。有些人對它投以信任一票，有些人則抱懷疑態度。有關這條公理的討論和研究，相信還會繼續，那便看看數學家如何把它解決。最後，網主用羅素的一句話作結束，他在談及「選擇公理」時曾說：