中國剩餘定理
 

　　金庸先生的《射雕英雄傳》暢銷全球的華人社區，很多人也知道郭靖和黃蓉的故事，但原來在《射雕英雄傳》內也有有關數學的名題同時隨小說傳至全球的華人社區，這便是「孫子定理」或稱「鬼谷算」、「隔墻算」、「剪管術」、「秦王暗點兵」或「韓信點兵」，但當今數學界則稱之為「中國剩餘定理」（Chinese Remainder Theorem）。

　　話說郭靖和黃蓉在離開泥沼時，黃蓉下了三道題目挑戰號稱「神算子」的瑛姑，當中的第三道題目，便是這著名的「鬼谷算」：「今有物不知其數，三三數之賸二；五五數之賸三，七七數之賸二。問物幾何？」（摘自《孫子算經》卷下，第26題）如果用白話寫出，意思是：現在一個未知數，除3時，餘數是2；除5時，餘數是3；除7時，餘數是2，問這個未知數的最小值？這道題目如此簡單，何以會是名題呢？

華羅庚

　　事實上，《射雕英雄傳》裏的瑛姑不難便得出答案是23；而中國著名數學家華羅庚教授，對這道題目有以下的說法：「求一個數，3除餘2，5除餘3，7除餘2。這個問題太容易回答了，因為3除餘2，5除餘3，7除餘2，則21除餘2。而23是3、7餘2最小的數，剛好又是5除餘3的數。所以心算快的人都算出！」（摘自《華羅庚科普著作選集》第84頁）

　　正如華羅庚教授所說，重點並不是計算出23這個結果，數學便是不僅於此。瑛姑雖然得到答案，但她也得向黃蓉請教，因為瑛姑的答案是硬生生地試出來的，她明白倘若餘數有變的話，她便可能要再花一段時間來試答案了，她找不到計算這一道題目的門徑，或者說她找不到解這道題的普遍方法；而數學的研究便是希望找到這道題的特質，作出普遍化的解法。你又可知道這道名題的普遍解嗎？

　　很多中國的名事蹟或名題，在民間都有歌謠，有的唱出一個故事，有的唱出這些名題的解法。而這「鬼谷算」也不例外，而且還有幾個不同版本，以下是其中兩個：

三歲孩兒七十稀，
五留廿一事尤奇，
七度上元重相會，
寒食清明便可知。
摘自《志雅堂雜鈔》
三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正月半，
除百零五便得知。
摘自《算法統宗》卷四

　　其實兩者的意思是相同的，「上元」和「月半」都是代表15；而「寒食」是指清明前一日，由冬至到清明共106日，因此由冬至到寒食便是105的意思。而這些解的意思是說，用70乘3除所得的餘數，用21乘5除所得的餘數，用15乘7除所得的餘數，然後再加起來。如果其和大於105，則減去105，直至小於105為止，最後這個數便是答案。以「鬼谷算」中的餘數為例：

2x70+3x21+2x15-105-105=23

讀者不妨可以嘗試用不同的餘數來驗證這個解，你會發現這個方法果真是妙不可言。到了此處，問題有兩個，（一）如何推出這個結果？（二）如果除數改變了，或有更多的餘數時又如何？簡而言之，可以把這個方法推廣嗎？
   
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參考書目：
1. 傅珊編著，《數學典故名題趣解》，旅游教育出版社，北京，1990。
2. 李儼、杜石然著，《中個古代數學簡史》，九章出版社，台灣，1992。
3. 談祥柏編著，《數：上帝的寵物》，上海教育出版社，上海，1996。
4. 李學數著，《數學和數學家的故事　第二集》，廣角鏡出版社，香港，1979。