如果把一大堆的乒乓球倒進一個箱內，倒至最後還剩下幾個，但看來箱子也滿了，你會怎樣做呢？用力把乒乓球壓下去嗎？當然不會，聰明的你會嘗試把箱子抖幾下，使球與球之間的空隙減少，好讓你可以把剩餘的幾個放進箱子內。這個經驗可能很多人也有過，但你又可想到這個乒乓球裝箱的問題，其實是一個數學上的難題呢？

　　從以上的經驗中，隨即想到一個十分自然的問題，就是「如何把乒乓球裝箱，才可以裝到最多乒乓球呢？」這便是有名的「球體填充問題」（Sphere-Packing Problem），亦稱「開普勒猜想」（Kelper Conjecture）。表面上看，這個似乎算不上甚麼難題，但想清楚便真的不容易了。把以上的問題化為數學問題，即設箱子的容量為L，球的半徑為r，球的數量為N，那麼有

(N x 4πr³/3)/L ＜ 1

其中左邊的式子，可以看成為密度。當然以上的式子是十分粗糙，球體填充問題便是要找上這個密度的上確界，而如果可能的話，希望能找出裝箱的方法。

　　1611年，著名的天體物理學家開普勒（Johannes Kelper，公元1571年─1630年）寫了一本小冊子《新年的禮物──論六出的雪花》，當中提到一種球體裝箱的方法，並猜想這是一種「最密」的裝箱方法。他的方法是這樣的：考慮一個邊長為2的正立方體，分別以它的八個頂點及六個面的中心為球心，以[sqrt(2)/2]為半徑作球，因此在這正立方體內，球的體積便有4個整球的體積（八個角，每個角有八分一個球；六個面，每個面有半個球），所以密度如下：

{4 x 4π[sqrt(2)/2]³/3}/2³ = π/[3 x sqrt(2)] = 0.740480...

也就是說，開普勒認為球體裝箱的密度上確界為π/sqrt(18)，並以π/sqrt(18)為最密。

　　雖然在上述的方法中，在那個正立方體內是沒有一個完整的球，但當考慮一個大的箱子，以這些正立方體為基本單位來填滿箱子時，不完整的球的體積跟中間完整球的體積相比是微乎其微的。同樣道理，箱子的形狀也不影響密度。

　　開普勒的這個裝箱方法稱為「面心晶」（face-centred-cube，簡寫為f.c.c.），是化學上原子在晶體中的其中一種排列形式。當然這種方法可以把球體排得很密，不過是否最密呢？開普勒則沒有證明。但不難看出，這種方法有其精妙之處，就是每個球也跟其餘12個球相切，上、中、下每層4個，這也是一個球在同一時間內的最多切球數目。直至到1831年，高斯（Gauss）證明了開普勒的猜想在「格點型」的裝箱法是成立的，所謂格點型便是當用坐標表示時，所有的球心也在坐標和是偶數的整數點上。

　　但1883年，巴洛（Barlow）發現有無窮多的非格點裝箱方法其密度（極限值）也是π/sqrt(18)，而開普勒的猜想對非格點的裝箱方法仍然是有待證明。在這百多年間，很多數學家不斷給出密度的上界的值，當中以1993年，墨德爾（Muder）的數值最佳，約0.77305。另外，在1990年，美國加州大學柏克萊分校的項武義教授宣稱他已經證明了開普勒的猜想，但卻不被數學界所承認，認為他的證明還有不完全及不清楚的部分。而在1991年，比士狄克（Bezdek）、古皮爾堡（Kuperberg）及小麥佳（Makai jr.）則證明了對於平行的球串，開普勒的猜想是成立的，這樣又向攻克這問題邁進一步。

　　另一方面，托特（Tóth）曾提出解決這猜想可以嘗試用電腦方法，而在1998年，美國密芝根大學的希爾斯（Hales）宣稱他利用電腦的協助，解決了開普勒的猜想，證明猜想對所有裝法也是正確。整個證明共250頁及3Gb的電腦資料，現在放了在互聯網希爾斯的網址中給同業驗證，有數學界人士認為這次證明的真確性很高，但仍然有待考證。