期望值
設勝出的機會率是0.4，本金=$10，派彩是本金的190%，即$19。設 X = 毛利(扣除本金後的純利)。贏了，X取值$9；輸了，X取值－$10。
| X($) |
－10
|
9
|
| X取值x的機會 P(X= x) |
0.6
|
0.4
|
X的期望值定義為︰E(X) = $(－10×0.6 + 9×0.4) = －$2.4。
意思是不斷進行這個賭局，平均每局輸$2.4。
一般而言，設X為某隨機變數，其機會率分佈如下︰
| X |
x1
|
x2
|
…
|
xn
|
| P(X= x) |
p1
|
p2
|
pn
|
X的期望值定義為︰E(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn。
例子
1. 擲三顆骰子，有216種可能發生的情形，其中6種是圍骰，105種是開大，105種是開小。買大小一賠二。下注$10買大，設 X = 毛利。
| X($) |
－10
|
10
|
| P(X= x) |
111/216
|
105/216
|
E(X) = $(－10×111/216 + 10×105/216) = －$0.2778。(平均每局輸$0.2778)
2. 第一局下注$10買大，輸了再下注第二局$20買大，再輸再下注第三局$40買大，再輸再下注第四局$80買大。任何一局勝出的話便終止下注，輸了繼續，直至第四局為止。設 X = 毛利。這樣買法，除非四局盡輸(共輸了$150)，否則可贏$10。
| X($) |
－150
|
10
|
| P(X= x) |
(111/216)4=0.0697
|
1－(111/216)4=0.9303
|
E(X) = $(－150×0.0697 + 10×0.9303) = －$1.158。(平均每次輸$1.158)
雖然這樣買法有較高的機會勝出，但其實是很不智。
現在回答「問題小子」的機率問題。
設每局勝出的機會率是0.4，派彩是本金的190%。
| 買法 A︰ | 第一局下注$10，輸了再下注第二局$30，再輸再下注第三局$90，再輸再下注第四局$270，再輸再下注第五局$810。任何一局勝出的話便終止下注，輸了繼續，直至第五局為止。 |
設 X = 毛利。贏第一局X取值$9、贏第二局X取值$17、贏第三局X取值$41、贏第四局X取值$113、贏第五局X取值$329、五局盡輸X取值－$1210。
| X($) |
9
|
17
|
41
|
113
|
329
|
－1210
|
| P(X= x) |
0.4
|
0.6×0.4
|
0.62×0.4
|
0.63×0.4
|
0.64×0.4
|
0.65
|
E(X) = $[9×0.4 + 17×(0.6×0.4)+ 41×(0.62×0.4) + 113×(0.63×0.4) + 329×(0.64×0.4) －1210×0.65] = －$53.6870。(平均每次輸$53.6870)
問題小子，你的買法 B、C也可用這個方法去計算毛利的期望值，但相信也不會是正數。希望你不要真的下注，因為十賭九騙。莊家必然處於有利位置，否則為什麼要開賭局呢?