期望值

設勝出的機會率是0.4,本金=$10,派彩是本金的190%,即$19。設 X = 毛利(扣除本金後的純利)。贏了,X取值$9;輸了,X取值$10。

X($)
10
9
X取值x的機會 P(X= x)
0.6
0.4

X的期望值定義為︰E(X) = $(10×0.6 + 9×0.4) = -$2.4。

意思是不斷進行這個賭局,平均每局輸$2.4。

一般而言,設X為某隨機變數,其機會率分佈如下︰

X
x1
x2
xn
P(X= x)
p1
p2
pn

X的期望值定義為︰E(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn

例子

1. 擲三顆骰子,有216種可能發生的情形,其中6種是圍骰,105種是開大,105種是開小。買大小一賠二。下注$10買大,設 X = 毛利。

X($)
10
10
P(X= x)
111/216
105/216

E(X) = $(10×111/216 + 10×105/216) = -$0.2778。(平均每局輸$0.2778)

2. 第一局下注$10買大,輸了再下注第二局$20買大,再輸再下注第三局$40買大,再輸再下注第四局$80買大。任何一局勝出的話便終止下注,輸了繼續,直至第四局為止。設 X = 毛利。這樣買法,除非四局盡輸(共輸了$150),否則可贏$10。

X($)
150
10
P(X= x)
(111/216)4=0.0697
1-(111/216)4=0.9303

E(X) = $(150×0.0697 + 10×0.9303) = -$1.158。(平均每次輸$1.158)

雖然這樣買法有較高的機會勝出,但其實是很不智。

 

現在回答「問題小子」的機率問題

設每局勝出的機會率是0.4,派彩是本金的190%。

買法 A︰ 第一局下注$10,輸了再下注第二局$30,再輸再下注第三局$90,再輸再下注第四局$270,再輸再下注第五局$810。任何一局勝出的話便終止下注,輸了繼續,直至第五局為止。

設 X = 毛利。贏第一局X取值$9、贏第二局X取值$17、贏第三局X取值$41、贏第四局X取值$113、贏第五局X取值$329、五局盡輸X取值$1210。

X($)
9
17
41
113
329
1210
P(X= x)
0.4
0.6×0.4
0.62×0.4
0.63×0.4
0.64×0.4
0.65

E(X) = $[9×0.4 + 17×(0.6×0.4)+ 41×(0.62×0.4) + 113×(0.63×0.4) + 329×(0.64×0.4) 1210×0.65] = -$53.6870。(平均每次輸$53.6870)

問題小子,你的買法 B、C也可用這個方法去計算毛利的期望值,但相信也不會是正數。希望你不要真的下注,因為十賭九騙。莊家必然處於有利位置,否則為什麼要開賭局呢?