鬼谷算題

有看過<<射雕英雄傳>>都會記得黃蓉考瑛姑呢條 "鬼谷算題" :

"今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，

七七數之賸二，問物幾何? "

化作現代的數學語言是 :

"有整數x，x÷3餘2; x÷5餘3; x÷7餘2，求x 。"

瑛姑想了許久，只試出 x = 23 是其中一個解，但除此之外，有沒有數仍可作為x?

這道題是一個不定方程問題，在數論 (Number Theory)中屬於一次同餘問題。<<孫子算經>>給出了它的一般解法, 有人把它編成歌訣 :

" 三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，

七子團圓月正半，除百零五便得知。"

寫成公式就是 :

"x=70r₁+21r₂+15r₃-105 n，其中n為任意整數，而r₁，r₂，r₃分別為各次的餘數。"

如把r₁=2，r₂=3，r₃=2代入，並取n=2，求得x=23，這是鬼谷題的最小正整數解。<<孫子算經>>的作者是怎樣得到這公式呢?

觀察一

如果 x₁，x₂ 都是解，那麼 x₁ － x₂ 必是 105 的倍數。

因為 x₁ － x₂ = (x₁ － r₁) － ( x₂ － r₁) = ( 3 的倍數 ) － ( 3 的倍數 ) = 3 的倍數，同理，x₁ － x₂ 都是 5 和 7 的倍數，而 3, 5, 7 的最小公倍數是 105，因此有觀察一。

由此得知，x₂ = x₁ － 105 n，其中 n 為某整數。因此通解公式必是形如

x = x₁ － 105 n，其中 n 為任意整數。

因此如能一般地(不論 r₁，r₂，r₃ 是多少)找得一個特別解 x₁，便能找到通解公式了。

觀察二

r₁ 作為 x 除 3 後的餘數，當然有 r₁ ÷ 3 餘 r₁，但

2r₁÷3，3r₁÷3，4r₁÷3，...等的餘數是多少?答案仍舊是 r₁ 的有 4r₁÷3，7r₁÷3，10r₁÷3，...

(當然啦! 因為 (3 m +1) r₁ = 3 m r₁+ r₁ )

特別是 70 r₁÷3 餘 r₁ (注意 : 70 不但等於 3×13 + 1，而且還是 5 和 7 的公倍數)。

同樣地，21 r₂÷5 餘 r₂，15 r₃÷7 餘 r₃。

因此，x₁ = 70 r₁ + 21 r₂ + 15 r₃ 滿足條件，是一個特別解。

由觀察一及觀察二所得, 便有鬼谷題的通解了。

以下是鬼谷題的推廣:

中國餘式定理

x÷m₁ 餘 r₁ ; x÷m₂ 餘 r₂ ; x÷m₃ 餘 r₃ ; ... ; x÷m_k 餘 r_k

如果 m₁，m₂，m₃ , ...，m_k 除1外沒有公因子，這樣 x 必定有解，且通解公式為

x = x₁ － (m₁m₂m₃...m_k) n，其中 n 為任意整數, x₁是一個特別解 。